Em um grupo de apenas 23 pessoas, a chance de duas delas fazerem aniversário no mesmo dia é de 50%.

O Paradoxo do Aniversário é um exemplo clássico de probabilidade que desafia a intuição humana. O erro comum ocorre porque tendemos a pensar linearmente, comparando apenas uma pessoa com as outras 22. No entanto, a matemática considera todas as combinações de pares possíveis dentro do grupo. Para calcular essa probabilidade, os matemáticos utilizam a fórmula de combinações nCr, onde 'n' é o número de pessoas. Para 23 pessoas, o cálculo resulta em (23 × 22) / 2, totalizando 253 pares distintos. Cada um desses pares tem uma chance de 1 em 365 de compartilhar a mesma data, o que eleva a probabilidade total para pouco mais de 50%. Este conceito foi amplamente divulgado por Richard von Mises em 1939, um matemático austríaco que contribuiu significativamente para a teoria das probabilidades. O paradoxo demonstra como o crescimento exponencial de combinações supera rapidamente nossa percepção visual de um grupo pequeno. Em termos estatísticos, para que a chance fosse de 100%, seriam necessárias 367 pessoas, garantindo pelo menos uma repetição pelo Princípio da Casa dos Pombos. Contudo, a curva de probabilidade sobe de forma tão acentuada que, com apenas 57 pessoas, a chance já ultrapassa 99%. Esse princípio é fundamental na criptografia moderna, especialmente em ataques de colisão de hashes, conhecidos como 'Ataques de Aniversário'.